Loi des aires : deuxieme loi de Kepler


 



Soient M1 et M2 deux points matériels (le Soleil et une planète du système solaire) de masse respective m1 et m2 aux instants respectifs t1 et t2.

Le système {M1,M2} est soumis à la force de gravitation Fg.


La relation fondamentale de la dynamique donne donc :

Fg = m a

a : accélération du système.
m : masse du système.


Corrigé

D'où, en coordonnées polaires,

Fg e(r) = m a

ou encore

(Fg / m) e(r) = m [(d²r/dt² - rdq/dt) e(r) + (rd²q/dt² + 2(dr/dt)(dq/dt) e(q)

Or,
Fg et OM sont colinéaires.

D'où

(rd²q/dt² + 2(dr/dt)(dq/dt) = 0

ou encore

(1/r) d/dt (r²dq/dt) = 0      (1)

L'intégrale de (1) donne r²dq/dt = constante.

L'Aire A balayée par le rayon rd est proportionnelle à t2 - t1 et donc au temps mis pour la décrire : loi des Aires (deuxieme loi de Kepler).




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