Mouvement vertical dans l'air

Soit un objet de masse m lancé verticalement depuis le point matériel O à une vitesse Vo.

1) Déterminer la vitesse V de l'objet en fonction de son altitude z.
2) Déterminer l'altitude maximale, Zmax, de l'objet.
3) Calculer la vitesse V'o de l'objet lorsqu'il retombe au point matériel O. Calculer Zmax avec l = 3m et Vo = 100 m/s. Discuter des résultats obtenus.

Corrigé

1) L'objet de masse m est soumis à deux forces :
-Poids P = mg.
-Force de frottements F = kV².

On applique la relation fondamentale de la dynamique (on néglige les frottements fluides) :

-mg -ekV²= ma
e : constante égale à +1 lorsque V > 0 (ascension) et à -1 lorsque V < 0 (descente).

D'où
-mg -ekV²= md²V/ dt²

Or,
dV/dt = dV/dz * dz/dt

D'où
-mg -ekV²= mdV/ dz

Equation différentielle

On pose E = V² ce qui donne dE / dz = -2g - e(k/m)E
avec
V = (mg/k)^(1/2)
l = m/2k

D'où

dE / dz = (-V²limite + eE) / l

Vlimite : vitesse limite lors d'une chute de durée infinie.
l : distance caractéristique.

Cas où e = 1 :
V² = integrale [(-V²limite + eE) / l] dz
V² = -V²limite + (Vo² + V²limite)exp (-z/l)
Cas où e = -1 :
V² = integrale [(-V²limite + eE) / l] dz
V² = integrale [(-V²limite - Vo²) / l] dz
V² = (-V²limite - Vo²)(Zmax-z / l]
V² = -V²limite -V²limite exp[(Zmax-z / l]
V² = -V²limite {1 - exp[(Zmax-z / l]}

2) L'altitude maximale est atteinte à V=0.
D'où
exp[(Zmax-z / l](Vo² + V²limite) - V²limite = 0
exp[(Zmax-z / l](Vo² + V²limite) = V²limite
exp[(Zmax-z / l] = V²limite / (Vo² + V²limite)
-Zmax / l = ln [V²limite / (Vo² + V²limite)]

Zmax = -l ln [V²limite / (Vo² + V²limite)]

Or,
V²limite / (Vo² + V²limite) <<<1

D'où
Zmax = l n [1 + Vo² / V²limite]

3) A z=0, l'objet de masse m arrive en O avec une vitesse V'(0) telle que :

V'(0) = -V²limite + (Vo² + V²limite)
V'(0) = Vo² / [1+ (Vo² + V²limite)]

Calculons Zmax avec l = 3m et Vo = 100 m/s.

Zmax = l n [1 + Vo² / V²limite]
Zmax = l n [1 + kVo² / mg]

AN:
Zmax = 3 ln (1+ 0,1*100²)
Zmax = 20,7 m
La chute libre sans frottements implique k=0 et donc une vitesse limite tendant vers l'infini.

D'où
V'(0) = V(0) ce qui a pour conséquences z=0.
Nous obtenons le graphe suivant :

Zmax est atteinte rapidement du fait de la présence des forces de frottements. Ces mêmes forces de frottements ramènent la particule à sa position initiale à t = 4,4s avant de suivre une chute linéaire.