Le modèle d'Airy
Bibliographie et sites internet
La présence des arcs surnuméraires est reconnue par le polygraphe anglais Henry Pemberton ( 1694-1771 ) en 1720 : une observation très pointue sur un écran lui permet de voir que l'intensité des franges brillantes décroît lentement à partir du milieu d premier arc-en-ciel .
Une observation qu'il est incapable d'expliquer car s'appuyant sur la théorie newtonienne .
Une refonte de l'arc-en-ciel est alors nécessaire .
Le physicien anglais Thomas Young ( 1773-1829 ) fait alors appel à ses notions en optique ondulatoire .
Il considère que les rayons émergents parallèlement à la sortie de la goutte après avoir suivi des chemins différents dans la goutte interfèrent pour donner un maximum d'intensité ou un minimum d'intensité suivant leur différence de marche .
Mais la théorie d'Young n'explique pas la bande d'Alexandre ( bande sombre comprise enter les deux arcs-en-ciel ) .
Le britannique mathématicien George Bidell Airy ( 1801-1892 ) prend en compte le principe développé par le physicien néerlandais Christiaan Huygens ( 1629-1695 ) selon lequel les ondes générées par la lumière se propagent rectilignement .
Airy considère alors des rayons lumineux arrivant parallèles sur une lame d'eau à faces parallèles puis sur un miroir sphérique, ce qui provoque une caustique ( surface qui enveloppe les rayons lumineux qui lui sont tangents ) :
Nous obtenons alors
d = n( eau ) ( AD + DB ) - n ( eau )AC
Or,
AD = DB = e / ( cos r ) .
D'où
d = 2 ne ( cos r ) + l( couleur ) / 2
l( couleur ) : longueur d'onde de la couleur considérée .
l / 2 : déphasage dû à la première réflexion .
Au maximum de l'intensité de la lumière :
d = m l( couleur )
m : nombre entier ( nombre d'arc considéré )
Au minimum de l'intensité de la lumière :
d = ( 2m+1 ) l( couleur )/2
La théorie d'Airy prend en compte l'interférence des vibrations issues de tous les points de la surface d'onde : une théorie qui fait que lorsque le diamètre des gouttes diminue, la théorie géométrique ne s'applique plus .
Déterminons l'équation de la caustique .
la surface d'onde étant un cylindre d'eau, nous avons :
y = bx^3
D'après la théorie géométrique,
D = 2 ( i - r ) + p ( p- 2r )
En utilisant le développement limité de D à l'ordre 2, nous avons :
D = D(m) + (1/2) ( d²D / di² )
Or,
cos i = [ ( n² - 1 ) / ( p² + 2p ) ]^(1/2) et dr = ( cos i ) / [ n(eau) cos r ]
D'où
D = D(m) + { [( p + 1 )² - 1] / ( p + 1 )²] } { [ ( p+1)²-n²] / ( n²-1 )} di²
D et D(m) sont perpendiculaires à la caustique et forment donc entre eux un angle D-D(m) .
D'où la détermination de b, ce qui donne
dy/dx = D-D(m) = 3bx²
Nous obtenons alors
b = [ D-D(m) ] / ( 3x² )
x² = d²d
Ce qui nous intéresse surtout est la répartition des intensités lumineuses au sein de la goutte et surtout l'angle b ( visualisation de l'amplitude des vibrations lumineuses de l'arc-en-ciel ) .
Soit le f déphasage entre deux vibrations tel que :
f = bx² + bx
Soit I l'intensité des vibrations lumineuses telle que :
car I sur les deux extrémités de l'infini est proche de zéro .
Posons
u^3 = 4bx^3 /l et -Xu = 4bx /l
D'où
b=-X [bl²/16]^(3/2)
Nous obtenons le graphe suivant :
Quand X < 0, nous nous trouvons à l'intérieur de la caustique : pas de franges visibles .
Quand X > 0, nous nous trouvons à l'extérieur de la caustique : des franges sont visibles : elles correspondent aux intensités des différents arcs . X représente donc la largeur des franges .
Suivant les maximas de X et connaissant le rayon de la goutte de pluie ( D(m) ), il est donc possible de calculer b .
Par exemple, pour l = 560 nm et X=1,3, nous avons pour le premier arc :
|
D(m) ( mm ) |
b ( ° ) |
|
500 |
0,7 |
|
300 |
0,9 |
|
100 |
2,0 |
|
10 |
9,5 |
|
5 |
15,0 |
Plus le rayon de la goutte diminue, plus l'ouverture angulaire de l'arc sera élevé et moins l'arc sera visible .
Suivant le rayon de la goutte, il ne faut donc pas avoir une ouverture angulaire de l'arc trop grande : la théorie ondulatoire permet donc de connaître la largeur des arcs, l'intensité des arcs et le fait que le rayon de la goutte joue un rôle important dans la formation de l'arc .
Sur un sujet aussi vaste que celui de l'arc-en-ciel, il y avait pas mal de choses à traiter, ce qui était la difficulté principale : ne pas oublier l'essentiel .
Dans l'ensemble, beaucoup de thèmes ont été abordés notamment la théorie géométrique et la théorie ondulatoire expliquant la quasi totalité voire la totalité de la formation de l'arc-en-ciel .
En parlant de théorie ondulatoire, la difficulté principale a été d'aborder le modèle d'Airy et surtout effectuer l'intégrale d'Airy permettant de déterminer l'intensité lumineuse de chaque arc .
Les nombreux paramètres rendaient plusieurs intensités lumineuses possibles pour chaque arc : en réalité, elles correspondaient chacune à une longueur d'onde en particulier .
Dans l'ensemble, les explications sur l'arc-en-ciel m'ont beaucoup fasciné : l'élaboration des schémas n'en était alors qu'un plaisir ! Des schémas très représentatifs de ce qui se passe entre l'atmosphère de la Terre et la surface de la Terre au sein des gouttelettes d'eau qui bien que de diamètres minuscules permettent à la lumière de subir des réflexions à l'intérieur des gouttelettes d'eau : le résultat est un spectacle extraordinaire dont des photos figurent en annexe !
Par contre, la fiabilité des modèles mises en place pour déterminer l'intensité lumineuse de chaque arc laisse difficilement penser que les données recueillies sont fiables . En effet, un nombre variable de gouttelettes d'eau tombe rend difficile une quelconque mesure de l'intensité lumineuse à travers les gouttes .
D'où une sensibilité des appareils de mesures encore beaucoup trop faible aujourd'hui .
Beaucoup d'interrogations reste encore sur l'arc-en-ciel mais les nouvelles technologies vont très certainement nous aider à regarder l'arc-en-ciel autrement .
L'objectif concernant l'étude de l'arc-en-ciel sous toutes ses formes a été atteint : en effet, la présence des gouttelettes d'eau de différentes tailles et en grande quantité a permis d'en savoir plus sur le rôle du soleil et le regard de l'observateur dans la formation de l'arc-en-ciel .
Les nombreuses expériences sur les gouttelettes d'eau mettaient en évidence les rayons lumineux traversant la goutte tout en subissant toutes sortes de déviations .
Les chercheurs à ce sujet ont proposé chacun leur tour leur théorie : Freiberg obtient seulement quatre couleurs avec une goutte d'eau et son prisme ( une expérience reprise par Newton mais dans l'obscurité quasi totale ) ; Descartes avec sa recherche des rayons efficaces explique la formation des deux arcs ; enfin Newton complète les travaux de Descartes en réussissant à répartir les couleurs et la largeur des spectres de couleur de l'arc-en-ciel .
Tous les trois notamment ont élaboré une théorie géométrique quant à la formation de l'arc-en-ciel .
Mais cette théorie ne s'applique plus lorsque le diamètre des gouttes diminue .
Pour remédier à ce problème, Airy a crée un modèle mathématique basé sur la théorie ondulatoire .
Il explique ainsi, par l'interférence de deux ondes émergents parallèlement et réfléchis sur un miroir sphérique, l'intensité lumineuse de chaque arc et donc la formation de la bande d'Alexandre ( bande sombre séparant les deux arcs ) .
Des recherches qui n'expliquent pas le fait que les arcs commencent et finissent dans des points précis .
En science, beaucoup de découvertes apportent plus de questions que de réponses .
Le modèle mathématique d'Airy pourrait être étendu à d'autres phénomènes météorologiques faisant intervenir les couleurs comme les halos ou les couronnes : tous des phénomènes d'irisation fascinant !
Bibliographie et sites internet
Bibliographie
-Techniguide de la météo de Jean Louis Vallée, édition Nathan, Avril 2004 .
-Physique de l'atmosphère Tome II Phénomènes de réfraction d'Etienne Vassy, édition Gauthier-Villars, 1959 .
-Les figures de l'arc-en-ciel de Michel Blay, éditions Carré, 1995 .
Sites internet
-"Lipsheim" : http://www.lipsheim.org/ ; site regroupant de nombreuses photos .
-"Futura-Sciences" : http://www.futura-sciences.com ; toute l'actualité scientifique dont les recherches sur l'arc-en-ciel .
-"Infoclimat" : http://www.infoclimat.fr ; toute l'actualité météorologique en temps réel avec entre autres des photos d'arcs-en-ciel postés dans la rubrique "Photolive" .
-"Voyage au cœur de la climatologie" : http://la.climatologie.free.fr/; site répertoriant de formidables photos d'arcs-en-ciel .
